Baljack's Successor: 미분적분학I 2.3 초월함수의 도함수

안녕하십니까, 미래 메카트로닉스 제어공학자 controlling입니다.
오늘부터 문제 찾는 데에 고생을 안 해도 될 것 같습니다!
과연...?!
이번에 진행할 내용은 다음과 같습니다.

2.3 초월함수의 도함수

초월함수는 삼각함수와 지수함수, 로그함수로 구성되어 있습니다. 우선 삼각함수의 도함수부터 정리하도록 하겠습니다.

정리 1. 삼각함수의 도함수
(1) $(\sin x)'= \cos x$
(2) $(\cos x)'= -\sin x$
(3) $(\tan x)'= \sec^2 x$
(4) $(\csc x)'= -\csc x \cot x$
(5) $(\sec x)'= \sec x \tan x$
(6) $(\cot x)'= -\csc^2 x$

증명은 (1)과 (2)만 하겠습니다. 나머지는 (1)과 (2), 그리고 기본적인 미분법(함수 사이의 곱/나눗셈의 미분법)을 이용하여 구할 수 있습니다.

증명)
(1)
$(\sin x)'=\lim _{h \rightarrow 0} {\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}}\\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h}\\=\lim _{h \rightarrow 0} \left \{ \frac{\sin x(\cos h -1)}{h}+\cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right \}\\=\lim _{h \rightarrow 0}\frac{\sin x(\cos h -1)}{h}+\cos x\\=\lim _{h \rightarrow 0}\frac{\sin x(-\sin^2 h)}{h(\cos h+1)}+\cos x\\=\cos x$

(2)
$(\cos x)' = \lim _{h \rightarrow 0} \frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}\\= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos x\cos h - \sin x \sin h -\cos x}{h}\\= \lim _{h \rightarrow 0}\left \{ \frac{\cos x(\cos h -1)}{h} \right \}-\sin x\\= \lim _{h \rightarrow 0}\frac{\cos x(\cos h -1)}{h(\cos h+1)}-\sin x \\= -\sin x$

예제) 건국대학교 2013학년도 편입학 기출문제

풀이)
$z=(x^2 - xy + 1)^3\\=((1+\sin 2t)^2 - (1+\sin 2t)(2-\cos t)+1)^3\\=(1+2\sin 2t + \sin^2 t - (2-\cos t + 2\sin 2t-\sin 2t \cos t)+1)^3\\=(\sin^2 t + \cos t + \sin 2t \cos t)^3$
$\frac{dz}{dt}=3(2\sin t \cos t -\sin t + 2\cos 2t \cos t -\sin 2t \sin t)(\sin^2 t + \ocs t + \sin 2t \cos t)^2$
$\therefore \frac{dz}{dt}|_{t=0}=3(0-0+2-0)^2(0+1+0)=12$

이제 지수함수와 로그함수의 도함수에 대하여 알아보겠습니다.

정리 2. 지수함수와 로그함수의 도함수
(1)
$(\ln x)'=\frac{1}{x}$

(2)
$(\log_a x)'=\frac{1}{x \ln a}$

(3) $(e^x)'=e^x$
(4) $(a^x)'=a^x \ln a$

증명은 (2)와 (4)를 할 것인데요, 이유는 $a=e$ 인 경우 (1)은 (2)와 같고, (3)은 (4)와 같기 때문입니다!

증명)
(1)
$(\log_ax)' = \lim _{h \rightarrow 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}\\= \lim _{h \rightarrow 0}\frac{\log_a(1+\frac{h}{x})}{h}\\= \lim _{h \rightarrow 0}\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h}\cdot \frac{1}{\ln a}\\= {\frac{1}{\ln a}}\lim _{h \rightarrow 0}\ln(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}\\=\frac{1}{\ln a}\cdot \ln e^x \\=\frac{1}{x\ln a}$

(2)
$y=a^x$ 라고 가정하면 $y=a^x=e^{x\ln a}$ 이다. 이를 음함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 정리한다.
$\ln y = x\ln a$
$\frac{y'}{y} = \ln a$
$y' = a^x \ln a$
$\therefore (a^x)' = a^x \ln a$

예제) 홍익대학교 서울캠퍼스 2014년 편입학 기출문제

풀이)
$y=f(x)$ 라고 가정하고 문제를 풀겠습니다.
$\ln y = \sin x \ln x\\\frac{y'}{y}=\cos x \ln x +\frac{\sin x}{x}\\y' = x^{\sin x} (\cos x \ln x+\frac{\sin x}{x})\\\therefore f'(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}\times\frac{1}{\frac{\pi}{2}}=1$

답) 2

오늘 이론은 짧게 끝났습니다. 정리문제를 풀어보면서 이번 차례 마치겠습니다.

건국대학교 2012년 편입학 기출문제

풀이)
$f'(x)=\frac {(x+2)\cos x - \sin x}{(x+2)^2}\\\therefore f'(0)=\frac{1\cdot2-0}{2^2}=\frac{1}{2}$

답) 4

건국대학교 2012년 편입학 기출문제

풀이)

$f'(x)=\frac{4x}{(2x+1)^2}\\f'(1)=\frac{4}{3}$

답) 2

숭실대학교 2013년 편입학 기출문제

풀이) 숭실대학교 배점 기준 난이도 下
$y'=\ln x -1 -1=\ln x-2\\y'|_{x=e}=-1\\\therefore y=-x+e$

답) 3

숭실대학교 2013년 편입학 기출문제

풀이) 숭실대학교 배점 기준 난이도 下
$f'(x)=\frac{(2xe^x+x^2e^x)(1+x^{100})-x^2e^x\cdot 100 x^99}{(1+x^{100})^2}\\=\frac{(x^2+2x)(1+x^{100})e^x - 100x^{101}e^x}{(1+x^{100})^2}\\=\frac{(x^2+2x)e^x}{1+x^{100}}-100\times\frac{x^{101}e^x}{(1+x^{100})}$
$f''(x)=\frac{\left \{ (2x+2)e^x +(x^2 +2x)e^x \right \}(1+x^{100})-(x^2+2x)e^x\cdot100x^{99}}{(1+x^{100})^2}-100\times\frac{101x^{100}e^x(1+x^{100})^2-x^{100}e^x\cdot2\cdot100x^{99}(1+x^{100})}{(1+x^{100})^4}$
$\therefore f''(0)=2$

답) 2

사실, 건국대학교 1번 문제와 숭실대학교 28번 문제는 앞으로 배울 테일러 급수를 사용하면 훨씬 빨리 풀 수 있는데요, 미분 연습 하시라고 올려놨습니다 ㅎㅎ(계산하느라 혼났어요...)

세종대학교 2009년 편입학 기출문제

답) 4

~~답이 풀이입니다~~

자, 저는 이동명과 김종현과 함께 놀다 다음에 뵙도록 하겠습니다. 빠이!

참고문헌
청문각, <미분적분학>, 2013, 권희대 외 8명, pp. 37~40
건국대학교 2012, 2013학년도 편입학 기출문제
홍익대학교 서울캠퍼스 2014년 편입학 기출문제
숭실대학교 2013년 편입학 기출문제
세종대학교 2009년 편입학 기출문제

Baljack's Successor

2015년 2월 15일 일요일

미분적분학I 2.3 초월함수의 도함수

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