미분적분학I 1.1 수열의 수렴과 발산

안녕하십니까, 미래 메카트로닉스 제어공학자 controling입니다.
이제부터 본격적으로 미분적분학 포스팅을 시작하고자 합니다!
미분적분학을 시작하는 첫번째 대단원은

Chapter 1 : 함수의 극한과 연속

친숙하지 않습니까? 아...않습니까? 고등학생때 줄창 들었던 이야기입니다. 다만 필자는 고3때 문과였고 재수(...)했을 때 이과로 돌렸기 때문에 고등학교에서는 못 듣고 인터넷 강의에서 많이 들었습니다. 제가 재수를 시작했을 때는 문과도 "미적분과 통계 기본"이라는 과목을 했기 때문에 저보다 늦게 고등학교를 졸업하신 분들이라면 이과건 문과에서 교차지원하신 분이건 저 말이 친숙하기 그지 없을겁니다.

잡담을 그만두고 이론을 나갑시다.

1.1 수열의 수렴과 발산

함수의 극한을 다룰 때 처음 다루는 것이 수렴과 발산인데요, 고등학생때는 '수열이 수렴한다'는 것은 '어떠한 수에 가까워진다.'라는 뜻으로, '수열이 발산한다'라는 것은 '수열이 수렴하지 않는다'라는 뜻으로 받아들여 졌습니다. 이에 대한 엄밀한 정의는 1.5에서 자세히 다루겠습니다. 1.5단원에서는 \varepsilon - \delta정리를 다룹니다. 그 전까지는 이러한 뜻을 받아들이고 다음과 같은 정리를 받아들이도록 합시다. 다음 나열할 정리들도 이를 증명하기 위해서는 1.5단원의 내용이 필요합니다.

정리 1. 수열 사이의 연산정리
수열 \left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \}이 각각 A, B로 수렴할 때 다음이 성립한다.
(1) 임의의 실수 k에 대하여  (스칼라곱)
(2) (덧셈)
(3) (곱셈)
(4) B \neq 0이고 충분히 큰 모든 n에 대하여 b_n \neq 0일 때, (나눗셈)
(5)  (합성함수)

위 정리의 (2), (3), (4)로부터 두 수열의 각각의 수렴값이 존재하고 수열 \left \{ b_n \right \}의 극한값이 0이 아닐  때, 두 수열 사이의 사칙연산의 극한은 두 수열 간의 사칙연산의 결과와 같음을 알 수 있습니다. 수열 의 극한값이 0인 경우에는 (4)(나눗셈)가 성리하지 않습니다! 

정리 2. 샌드위치 정리
충분히 큰 모든 n에 대하여 {a_n} \leq {b_n} \leq {c_n} 이고, 이면 이다.

위에서부터 계속 "충분히 큰"이 굉장히 애매하게 다가오시는 분들 계실겁니다. 수학에서 이런 추상적인 표현을 쓰다니...라며 경악을 금치 못하고 수학책을 덮어버리는 분들도 계실텐데요, 수학에서 "충분히 큰 A에 대하여 B다"라는 것은 "A가 어느 수 이상이 되면 B가 성립한다"라는 말로 받아들이시면 됩니다. 예를 들어, 정리 1의 (4)의 전제를 살펴보면, n이 특정한 자연수 N 이상일 때 b_n의 값이 0이 아니라면 n이 N 미만일 때의 b_n값은 0이 되어도 (4)의 명제가 성립한다는 말입니다. 같은 방식으로 정리 2도 받아들이시면 됩니다. (여러분이 직접 이해해보세요)

정리 3. 유계
(1) 수열 \left \{ a_n \right \}이 증가수열이고, 이 수열의 모든 항이 적당한 값 이하이면, 이 수열은 수렴한다.
(2) 수열 \left \{ b_n \right \}이 감소수열이고, 이 수열의 모든 항이 적당한 값 이상이면, 이 수열은 수렴한다.

증가수열이라는 것은, 항의 차수가 증가할 때 그 항의 값이 그 전 항에 비해 커지거나 변화가 없다는 이야기이고, 감소수열이라는 것은 항의 차수가 감소하면 그 항의 값이 그 전의 항에 비해 작아지거나 변화가 없다는 말입니다. 말로 쓰니 어렵네요. 수식으로 정의를 더 명확하게 합시다.

증가수열 : 모든 n에 대하여 {a_n} \leq {a_{n+1}}
감소수열 : 모든 n에 대하여 {a_n} \geq {a_{n+1}}

정리 3을 엄밀하게 증명하는 것은 1-5에서 하겠습니다. 하지만, 감으로 저 정리를 대충 느낄 수 있습니다!
(1) 만약 어떤 변수의 값이 계속 증가하는 추세인데 그 변수가 반드시 어느 수보다 작다면 그 수열의 차수가 커질수록 어느 값에 가까워지지 않겠습니까?!
(2) 만약 어떤 변수의 값이 계속 작아지는 추세인데 그 변수가 반드시 어느 수보다 크다면 그 수열의 차수가 커질수록 이 역시 어느 값에 가까워지지 않겠습니까?!
+추가, 만약 어떤 수열의 차수가 임의의 차수 N 이상일 때 수열의 값에 변화가 없다면(즉, {a_n}={a_{n+1}}, n \geq N) 이 수열은 어느 값에 "가까워지다 못해 같아지지" 않습니까?!

정리 3에 대한 추가 보충설명

실수를 원소로 갖는 집합 A의 임의의 원소 a에 대하여 a \leq  m인 실수 m이 존재한다다면 집합 A는 위로 유계라고 합니다. 즉, 실수를 원소로 갖는 어떤 집합의 모든 원소가 어떤 임의의 실수보다 작다고 하면 이 집합을 위로 유계라고 합니다. 정리 3-(1)의 수열 \left \{ a_n \right \}는 위로 유계라 할 수 있죠. 반대로, 실수를 원소로 갖는 집합 B의 임의의 원소 b에 대하여 b \geq  n인 실수 n이 존재한다면 집합 B는 아래로 유계라고 합니다. 즉, 실수를 원소로 갖는 어떤 집합의 모든 원소가 어떤 임의의 실수보다 크다고 하면 이 집합을 아래로 유계라고 합니다. 정리 3-(2)의 수열 \left \{ b_n \right \}은 아래로 유계라고 할 수 있습니다.

이로부터 다음과 같은 명제를 도출할 수 있습니다.
"수렴하는 수열은 항상 유계이다!"
하지만 절대 헷갈리지 마십시오.
"유계인 수열이 항상 수렴하는 것은 아니다!"

예를 들어보겠습니다. 수열 \left \{ a_n \right \}이 다음과 같은 성질을 갖는다고 가정합시다.
{a_{2n-1}}=1
{a_2n}=0

수열 \left \{ a_n \right \}의 차수가 증가함에 따라 값이 1과 0이 번갈아가면서 나타납니다. 반드시 2보다 작고 -1보다 큽니다. 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계이죠. 하지만 이 수열은 수렴하지 않습니다. 수열 \left \{ a_n \right \}은 어떤 값에 가까워지는 방향으로 값이 변화하지 않습니다. 흔히 이런 수열을 진동한다고 합니다. 진동발산이라는 말, 고등학생때 배웠습니다! 기억 안 나시면 고등학생때 봤던 교과서나 참고서를!

집합 A가 위로 유계라고 했을 때, 집합 A의 임의의 원소를 a라고 할 때, a \leq M을 만족시키는 실수 M을 상계라고 하고, 이 실수 M의 최솟값을 최소상계(sup)라고 합니다. 마찬가지로 집합 B가 아래로 유계라고 했을 때, 집합 B의 임의의 원소를 b라고 할 때, b \geq N을 만족시키는 실수 N을 하계라고 하고, 이 실수 N의 최솟값을 최대하계(inf)라고 합니다.

이로써 오늘 다룰 내용은 끝입니다. 간단하게 정리문제 풀어보면서 단원 마치겠습니다.

광운대학교 2011학년도 전기 편입학 기출문제

위로 유계인 수열 < {a_n} >    에 대한 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? (3점)

ⓐ < {a_n} >     이 수렴하면 수렴값은 양수이다. ⓑ 집합 \left \{ {a_n|n \textup{ is an natural number}} \right \}  의 상계는 무수히 많이 존재한다. ⓒ < {a_n} >     이 증가수열이면 < {a_n} >     이 수렴한다. ⓓ 집합 \left \{ {a_n|n \textup{ is an natural number}} \right \}    의 하계는 무수히 많이 존재한다.

 

① ⓐ, ⓑ ② ⓑ, ⓒ ③ ⓐ, ⓒ

④ ⓐ, ⓓ ⑤ ⓒ, ⓓ

광운대학교 편입문제는 배점이 3점, 3.5점, 4점으로 분배하더라고요. 이 문제는 광운대에서 볼 때 쉬운 문제에 속하는 문제인가봅니다. 문제 풀어보겠습니다.

 

a. 수열< {a_n} >  의 수렴값이 0일수도, 음수일 수도 있습니다. 수열 < {a_n} > 의 최소상계가 0이거나 0보다 작을 수 있기 때문입니다.
b. 그렇죠. 수열 < {a_n} > 의 항을 집합으로 하는 집합은 결국 수열 < {a_n} > 과 같은 것이죠. 수열 < {a_n} > 은 위로 유계이기 때문에 상계가 무수히 많이 존재합니다. 최소상계보다 크거나 같은 수들로 구성되어 있기 때문이죠.

c. 그렇죠. 정리 3-(1)에서 했습니다.
d. b.에서 말했듯이 수열 < {a_n} > 의 항을 집합으로 하는 집합은 수열 < {a_n} > 과 같습니다. 수열 < {a_n} > 이 등차가 0보다 작은 등차수열이라고 가정하면, 수열 < {a_n} > 는 n \rightarrow \infty 일 때 {a_n} \rightarrow -\infty로 발산합니다. 수열 < {a_n} >의 항들은 < {a_1} >보다 작거나 같으므로 위로 유계이고, 이 경우 하계는 존재하지 않습니다.

 

답 : 2

 

사실 이 단원과 관련된 문제는 많이 없습니다.  사실, 수열보다는 우리에겐 그 뒤에 있는 "함수"가 더 중요하거든요. 그럼 다음 단원에서 봅시다! 첫 포스팅인데 조악하지만 봐 주셔서 감사합니다!

참고문헌 :
청문각 <미분적분학> 권희대 외 8명 2013년 발행 pp. 1~2
http://www.google.co.kr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=26&ved=0CDYQFjAFOBQ&url=http%3A%2F%2Fcfile4.uf.tistory.com%2Fattach%2F1154B51649AF840E9CB59E&ei=Q7bTVJz9NoelmQWusYDwCQ&usg=AFQjCNGxwOgMyvMYUCHG1iAqg6k1rUe4yQ&sig2=ksd5_v0hxoXB0mWQZV0PlA&bvm=bv.85464276,d.dGY&cad=rjt

광운대학교 2011학년도 편입학 기출문제
포스팅을 직간접적으로 도와주셔서 감사합니다!

 

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