Baljack's Successor: 미분적분학I 2.1 평균변화율, 미분계수 및 도함수

안녕하세요, 미래 메카트로닉스 제어공학자 controlling입니다.
미분적분학 포스팅을 하는데 이제 미분이 나오네요 ㄷㄷ
이제 문제 찾기 더 쉬울까요...
라고 생각했습니다만, 포스팅을 끝난 뒤 '아직 앞부분이구나...'를 느꼈습니다. 다음 단원은 문제 찾기 더 쉬울 거 같아요.
오늘부터 배울 항목은 이것입니다.

Chapter 2. 도함수

이번 대단원은 미분과 관련된 이론들을 다룹니다. 도함수란 무엇인가를 곧 말씀드릴 것이고요, 이것도 거의 고등학교에서 배운 것입니다. 만약 수리 '가'형(혹은 수학 B형)을 응시하지 않으신 분들은 초월함수의 미분 정도 익숙하게 해 주시면 이론 자체는 어렵지 않을 거 같네요 ㅎ

2.1 평균변화율, 미분계수 및 도함수

우선 미분계수를 이야기하기 전에 평균변화율이 무엇인지 말씀드리겠습니다.

정의 1. 평균변화율
함수 $y=f(x)$ 가 있다고 가정할 때, $x=a$ 에서 $x=a+h$ 까지 변화할 때의 $x$ , $y$ 값의 증분을 각각 $\Delta x=(a+h)-a=h$ , $\Delta y=f(a+h)-f(a)$ 라고 하면

$\frac {\Delta y} {\Delta x} = \frac {f(a+h)-f(a)}{h}$

을 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서 $x=a+h$ 까지의 평균변화율이라고 한다.

정의 1.에서 언급한 평균변화율은 좌표평면의 두 좌표 $(a,f(a)), (a+h,f(a+h))$ 사이의 기울기값과 같습니다.

이 평균변화율의 분모를 0으로 보낸 것이 미분계수입니다.

정의 2. 미분계수

함수 $y=f(x)$ 가 있다고 가정할 때, $x=a$ 에서 $x=a+h$ 까지 변화할 때의 $x$ , $y$ 값의 증분을 각각 $\Delta x=(a+h)-a=h$ , $\Delta y=f(a+h)-f(a)$ 라고 하면

$\lim _ {\Delta x \rightarrow 0}{{\Delta y} \over {\Delta x}} = \lim _ {h \rightarrow 0} {{f(a+h)-f(a)}\over h}$

값이 존재하는 경우를 함수 $y=f(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하다고 하고, 위 수식의 값을 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 미분값, 또는 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 순간변화율이라고 한다. 이를 기호로 나타내면 $f'(a)$ 라고 한다.

$f'(a)$ 는 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 접선의 기울기와 같습니다.

한편, 정의 2.에서 언급한 극한식에서 $a+h$ 를 $x$ 로 바꾸면 다음과 같은 식이 도출됩니다.

$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(a+h)-f(a)}{h} = \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

여기서, 미분가능한 함수에서 중요한 성질 하나 짚고 가겠습니다.

정리 1. 미분가능과 연속
함수 $y=f(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하면, 함수 $y=f(x)$ 는 $x=a$ 에서 연속이다.

왜 그런지 증명해보겠습니다.
증명)
$\lim _{x \rightarrow a} {f(x)}= \lim _{x \rightarrow a} \left \{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times (x-a) + f(a)\right \} \\ =f'(x) \times 0 + f(a) = f(a)$
간단하죠? 이보다 간단한 증명은 없습니다. ~~다만 시험장에 가서는 떠오르지 않겠지~~

예제 하나 풀어보도록 하겠습니다.

한국항공대학교 2009년 미분적분학 중간고사 기출문제

다음 명제는 참인가, 거짓인가?

풀이) 거꾸로입니다. 거꾸로는 왜인지 위의 정리 1.에서 증명했습니다.
이것이 왜 거짓인지는 반례를 하나 들면 되는데요, 미분공식을 이미 아시는 분이라면 반례를 들기 쉽습니다.
우선, 증명부터 하겠습니다.
$f(x)= \left\{\begin{matrix} \2x+1\quad(x \leq 0)\\ 3x+1 \quad(x > 0) \end{matrix}\right.$ 라는 함수가 있다고 가정합시다. 이 함수는 $\lim _{x \rightarrow 0-}{f(x)} =\lim _{x \rightarrow 0+}{f(x)}=f(0)$ 이므로 연속입니다. 하지만, $\lim _{x \rightarrow 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x} = 2$ 이고,
$\lim _{x \rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x} = 3$ 이므로 $\lim _{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 의 값은 존재하지 않습니다. 따라서, $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 $x=0$ 에서 미분가능하지는 않습니다.

마지막으로 고차도함수에 대하여 말씀드리겠습니다. 고차도함수는 한 함수를 2번 이상 미분한 함수를 말하며, 2번 미분한 함수는 이계도함수, $n$ 번 미분한 함수는 $n$ 계도함수라고 합니다.

와... 저 그래프 그리느라 혼났네요... 우리 집에는 illustrator가 안 깔려있거든요... 저작권 문제때문에 다운받지 않았습니다. 우리 모두 불법다운로드를 근절합시다. (하지만, 다 사기엔 비싸잖아...) 정리문제 풀면서 이번 순서 마치도록 해요.

한국항공대학교 2009년 미분적분학 중간고사/성균관대학교 2008년 미적분학1 중간고사 기출문제

풀이)
미분계수 자체가 극한표현이기 때문에 $x=0$ 에서의 함수는 생각할 필요가 없습니다. $x\neq0$ 에서의 함수는 $x<0$ 에서나 $x>0$ 에서나 같으므로 우리는 $\lim _{x \rightarrow 0}\frac{y(x)-y(0)}{x}$ 값을 구할 수 있는가만 알 수 있으면 됩니다. 이 값을 알아보기 위해 직접 계산해보겠습니다.

$\lim _{x \rightarrow 0}\frac{y(x)-y(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin ({1\over x})}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}{\sin{1 \over x}}$

위의 극한값을 구할 수 없으므로 위의 함수는 미분불가능합니다.

문제를 더 풀어볼까 하였으나, 아무리 생각해도 미분 공식을 알고 나서 뭐라도 푸는게 나은 거 같습니다... 다음에 봅시다!

참고문현
청문각, <미분적분학>, 권희대 외 8명, pp. 23~27
한국항공대학교 2009년 미분적분학 기출문제
성균관대학교 2008년 미적분학I 기출문제

Baljack's Successor

2015년 2월 12일 목요일

미분적분학I 2.1 평균변화율, 미분계수 및 도함수

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