미분적분학I 3.1 미분연산자와 선형 근사

안녕하십니까, 미래 메카트로닉스 제어공학자 controlling입니다.
저번시간까지는 미분을 하는 방법에 대하여 배웠습니다.
이번에는 미분을 이용하는 방법에 대하여 배우겠습니다.
과학/공학도에게는 이 부분이 상당히 중요하죠.
이번 시간부터 배우는 대단원은 다음과 같습니다.

3. 도함수의 응용

오늘은 간단하지만 중요할 지도 모르는(중요한진 모르겠는데 문제에는 자주 나오더라고요...) 선형 근사에 대하여 배우겠습니다.

3.1 미분연산자와 선형근사

우선, 선형근사를 이야기 하기 전에 미분연산자에 대하여 이야기하겠습니다. 미분연산자는 다른 것이 아닙니다. 미분식 에서의 와  꼴의 연산자를 미분연산자라고 합니다. 이제 선형 근사식을 유도하도록 하겠습니다.

함수 가 있다고 가정합시다.
전에 배운 정의에 의해서 입니다. 따라서, 가 굉장히 작을 때, 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

위 식을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.









위의 식을 함수 의  근방에서의 선형근사식이라고 합니다.

예제) 한국항공대학교 2013년 중간고사 기출문제

풀이)  라고 가정하면 입니다. 구하고자 하는 값은 이므로 근사값을 구하기 위해 사용할 근사식은 함수 의  근방에서의 선형근사식입니다. 이므로, 다음과 같은 식을 사용할 수 있습니다.

답) 1.01

자, 이론 굉장히 짧았죠? 정리문제 풀면서 이번 순서는 빠르게 마무리합니다.

인하대학교 2010년 중간고사 기출문제

풀이)  라는 함수가 있다고 가정합시다. 이 때, 구하고자 하는 값은 이므로 함수 의 에서의 선형근사식을 사용하여 구하고자 하는 근사값을 구할 수 있습니다.

답) 

숭실대학교 2007년 중간고사 기출문제

풀이)
라는 함수가 있다고 가정하고 위와 같이 문제를 풀어보겠습니다.

답) 0.995

숭실대학교 2007년 중간고사 기출문제

풀이)
라는 함수가 있다고 가정하고 위와 같이 문제를 풀어보겠습니다.

답) 

숭실대학교 2008년 중간고사 기출문제

풀이)
라는 함수가 있다고 가정하고 위와 같이 문제를 풀어보겠습니다.

답) 

숭실대학교 2008년 중간고사 기출문제

풀이)
라는 함수가 있다고 가정하고 위와 같이 문제를 풀어보겠습니다.

답) 0.8

으어... 바쁘다... 다음에 봐요!

참고문헌

청문각, <미분적분학>, 권희대 외 8명, pp. 43~44

한국항공대학교 2013년 중간고사 기출문제

인하대학교 2010년 중간고사 기출문제

숭실대학교 2007, 2008년 중간고사 기출문제