Project Euler 하시는 분...?

최근에 Project Euler를 알게 되었습니다.
알게 된 경로는...
제가 우리 학교 수학과에서 주최하는 계산문제대회에 대한 정보를 찾아보다가 발견했습니다.
프로그래밍 언어로 간단한 수학 문제를 푸는 것입니다. 아직까지는 미적분 문제는 없는데요, 있어봐야 MATLAB 쓰면 되니까...
C++과 MATLAB으로 한 문제씩 풀어나갑니다. 하루에 1시간씩 푸는데요. 지금까지 5문제 풀었습니다. 시작한지 3일밖에 안 돼서...
프로그래밍 연습용으로 좋은 거 같습니다. ㅎㅎ

미분적분학I 3.3 함수의 극값과 최대, 최소

안녕하십니까, 미래 메카트로닉스 제어공학자 controlling입니다.
제가 들어가고자 하는 연구실을 담당하는 교수님이 쓰신 논문을 읽어보니, 메카트로닉스보단 동역학제어/진동제어인 거 같더라고요. 뭐든 다 좋습니다. 그래도 전 따로라도 전기전자를 공부하렵니다... ㅎㅎ 오늘 내용 나가겠습니다.

3.3 함수의 극값과 최대, 최소

  우선 함수의 극값에 대하여 말하기 전에 증가함수와 감소함수에 대하여 말씀드리려 합니다. 구간  내의 임의의 두 원소 와 에 대하여 가 성립할 때, 가 성립하면 증가함수, 가 성립하면 감소함수라고 합니다.
  이제 증가함수의 성질과 감소함수의 성질에 대하여 설명할 것인데요, 이를 설명하는 데에 사용되는 표기법(notation)은 위에서 증가함수와 감소함수를 정의할 때 사용한 표기법과 동일합니다.
  우선 증가함수의 성질 대하여 정리하여 봅시다. 위에서 정의한 증가함수의 부등식을 정리하면, 입니다. 함수 가 구간  내에서 미분가능하다고 가정합시다. 이 때, 평균값 정리에 의하면 를 만족시키는 값이 구간  내에 반드시 하나 이상 존재합니다. 와 는 구간  내의 임의의 원소이므로 구간  내의 어떠한 원소 에 대하여도 이 성립하며, 그 역도 성립합니다.
  이제 감소함수의 성질에 대하여 정리해봅시다. 위와 같은 방식으로 부등식을 정리하면 이 성립합니다. 함수 가 구간  내에서 미분가능하다고 가정하면, 이도 역시 평균값 정리에 의하면 를 만족시키는 값이 구간  내에 반드시 하나 이상 존재합니다. 이 역시 와 는 구간  내의 임의의 원소이므로 구간  내의 어떠한 원소 에 대하여도 이 성립하며, 그 역도 성립합니다.

[그림 1]

  이제 극값에 대하여 설명하려 합니다. 극값은 극댓값과 극솟값이 있는데요, 함수 에 대하여  근방에서 이면 를 극댓값, 이면 를 극솟값이라고 합니다.
  극댓값(극대)은 함수가 증가함수에서 감소함수로 바뀌는 순간의 함수값으로 나타납니다. 예외로 상수함수에서 감소함수로 바뀌는 경우, 증가함수에서 상수함수로 바뀌는 경우를 떠올리실 수 있는데요, 감소함수는 함수의 미분계수가 0보다 같거나 작으며, 증가함수는 함수의 미분계수가 0보다 크거나 같습니다. 상수를 미분하면 0이죠? 따라서, 상수함수는 증가함수임과 동시에 감소함수입니다.  따라서, 극댓값에 대한 위의 서술은 옳습니다. 한편, 함수 가 구간 에서 연속이라고 가정하고, 라고 가정합니다. 함수 에 대하여  근방에서 극댓값을 갖을 때, 다음과 같은 수식이 성립합니다.

이 때, 위의 극댓값에 대한 서술에 의해 (증가함수), (감소함수)이므로 이 성립합니다.

 그래프

  극솟값(극소)은 함수가 감소함수에서 증가함수로 바뀌는 순간의 함숫값으로 나타냅니다. 여기서 상수함수는!을 외치면 안됩니다. 극댓값에 대하여 설명한 것을 잘 보시면 극솟값도 다르지 않음을 알 수 있습니다. 이번에도 위와 같이 함수 가 구간 에서 연속이라고 가정하고, 라고 가정합니다. 이 때, 함수 에 대하여  근방에서 극솟값을 가진다고 가정하였을 때, 극댓값에서 증명한 것과 같은 방식으로 증명하면 임을 알 수 있습니다.
  즉, 함수 에 대하여  근방에서 극값을 가지면 입니다! 역은 성립하지 않습니다. 이어도 그 순간에 함수가 감소함수에서 증가함수로, 증가함수에서 감소함수로 바뀌지 않는 경우가 존재합니다. 예를 들어, 라는 함수가 있다고 할 때, 이 함수는 에서 증가함수입니다. 이지만 일 때에도 는 여전히 증가함수입니다.

  다음으로 함수의 최댓값, 최솟값을 구하는 법을 알기 전에 임계점에 대하여 알아봅시다. 임계점이란, 함수의 미분계수가 0이거나 미분불가능한 점을 이야기합니다. 극값에서의 함수의 미분계수는 0이므로 극대와 극소는 모두 임계점에서 생깁니다.
  함수 의 구간 에서의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법은 다음과 같습니다.
1. 함수 의 임계점에서의 함수값을 구한다.
2. 함수 의 구간 양 끝에서의 함숫값 을 구한다.
3. 구한 함숫값 사이의 대소 관계를 판단하여 최솟값과 최댓값을 구한다.
다만, 구간이 폐구간이 아닌 경우에는 2번은 다음으로 대체합니다.
구간의 왼쪽만 개구간인 경우(), 임계점들 사이에서의 가장 작은 좌표보다 더 작은 좌표에서의 함수의 미분계수와 0과의 대소관계를 확인한다. 는 구한다.
구간의 오른쪽만 개구간인 경우(), 임계점들 사이에서의 가장 큰 좌표보다 더 큰 좌표에서의 함수의 미분계수와 0과의 대소관계를 확인한다. 는 구한다.
구간의 양쪽이 개구간인 경우(), 임계점들 사이에서의 가장 작은 좌표보다 더 작은 좌표에서의 함수의 미분계수와 0과의 대소관계를 확인하고, 임계점들 사이에서의 가장 큰 좌표보다 더 큰 좌표에서의 함수의 미분계수와 0과의 대소관계를 확인한다.

예제) 연세대학교 2012년 중간고사 기출문제

풀이)

[그림 2]

  [그림 2]과 같이 미지수 를 잡아보겠습니다. (그림 그리느라 고생했어요 ㅠㅠ) 그럼 구 안에 들어있는 원뿔의 부피 는 다음과 같이 구할 수 있습니다.


         
원뿔의 높이가 3보다 작은 경우는 고려하지 않겠습니다. 왜냐하면, 원뿔의 높이가 3보다 작을 때의 원뿔의 밑면과 같은 넢이의 밑면으로 원뿔의 높이가 3보다 높은 원뿔을 만들 수 있기 때문이죠. [그림 3]을 참고하세요. 따라서, 의 범위는 입니다.
함수 는 구간 에서 미분이 가능합니다.
부피의 최댓값을 구하기 위해 를 에 대하여 미분하여 정리하겠습니다.

[그림 3]

   위 식으로부터 함수 는 에서 극      값을 갖는다는 것을 알게 되었습니다.
   최댓값을 구하기 위해 우선 임계점의 함숫      값부터 구해보겠습니다.
   
   그리고, 함수의 한 쪽 끝값인 을 구해      보겠습니다.
   
   한편, 도함수 는 일 때 음의 값      을 가지므로 함수 의 최댓값은 입    니다. 따라서, 웡뿔의 부피의 최댓값은    입니다.

답) 

이번 내용도 짧게 끝났습니다. 연습문제를 풀면서 이번 차례를 마무리하도록 하겠습니다.

연세대학교 2013년도 과제 문제

풀이)
함수 는 구간  내에서 미분가능하므로 다음과 같이 미분을 취할 수 있습니다.

따라서, 함수 는 에서 극값을 갖습니다.

따라서, 함수 의 최댓값은 입니다.

답) 

연세대학교 2013년도 과제 문제

풀이)
함수 는 실수 전체 구간에서 미분이 가능하므로 다음과 같이 미분을 취할 수 있습니다.

따라서, 는 극댓값과 극솟값이 존재하지 않는다.

연세대학교 응용통계학과 2013년도 1차 중간고사 기출문제
다음이 맞으면 O, 틀리면 X로 표기하시오.

풀이) 연세대학교 응용통계학과 배점 기준 난이도 下下(당연하지, 연대잖아)
극소값은 감소함수에서 증가함수로 변화하는 순간에서의 함숫값입니다. 값이  혹은 를 지날 때 함수 는 감소함수에서 증가함수로 변화합니다. 따라서, 와 는 함수 의 극솟값입니다.

KAIST 2010년도 중간고사 기출문제

풀이)
라고 가정하면 입니다. 함수 는 구간 에서 미분이 가능합니다. 함수 의 최댓값을 구하기 위해 함수 를 에 대하여 미분한 도함수 를 다음과 같은 과정을 거쳐 구합니다.

을 만족시키는 의 값은 입니다.
한편, 입니다. 일 때 이고, 일 때 이므로 함수 는 일 때 최댓값을 갖습니다. 따라서, 함수 의 최댓값은 입니다.

답) 

KAIST 2005년도 중간고사 기출문제

풀이)
(a)

함수 는 실수 전체 구간에서 미분가능하므로 다음과 같이 미분합니다.


인 경우, 입니다. 이 때, 일 때 이고, 이거나 일 때 입니다. 위 두 문장을 종합해보면, 함수 의 증가구간은   이고 감소구간은 입니다.

답) 증가구간 :  , 감소구간 : 

(b)
위에서 구한 바와 같이 입니다. 하지만, 는 모든 실수구간에 대하여 항상 0보다 크거나 같으므로 의 부호만 따져도 극대, 극소를 따지는 데에 무리가 없습니다. 이 때, 가 양수에서 음수로 바뀌는 순간은 일 때이고, 음수에서 양수로 바뀌는 순간은 일 때입니다. 따라서, 함수 의 극댓값은 , 극솟값은 입니다.

답) 극댓값 : 0, 극솟값 : 

내용은 되게 적은데 문제는 풀이를 서술하기 시간이 오래 걸리네요. 특히 그림... 다음에 뵈요!

참고문헌
청문각, <미분적분학>, pp. 51~53, 권희대 외 8명
연세대학교 2012, 2013년 중간고사 기출문제
연세대학교 응용통계학과 2013년도 1차 중간고사 기출문제
KAIST 2005, 2010년도 중간고사 기출문제